Thése Doctorat Problèmes aux valeurs propres non-linéaires
Résumé : Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme :
L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , où H0,H1,...,Hm-1 sont des opérateurs définis sur l'espace de Hilbert H et z est un paramètre complexe. On s'intéresse au spectre de la famille L(z). Le problème L(z)u(x)=0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m≥2 (Un nombre complexe z est appelé valeur propre de L(z), s'il existe u dans H, u≠0telqueL(z)u=0).Icinousconsidéronsdesfamillesquadratiques(m=2)etnousnousintéressonsenparticulieraucasLP(z)=−Δx+(P(x)−z)2,définiedansl′espacedeHilbertL2(Rn),oùPestunpolynômepositifelliptiquededegréM≥2.Danscetexemplelesrésultatsconnusd′existencedevaleurspropresconcernentlescasn=1etn$ paire.
L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Helffer-Robert-Wang : « Pour toute dimension n, pour tout M≥2, le spectre de LP est non vide. »
Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : (1) n=1,3, pour tout polynôme P de degré M≥2. (2) n=5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. (3) n=7, pour tout polynôme P convexe.
Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x,y)=x2+y4, x dans Rn1, y dans Rn2, n1+n2=n, et n paire.
Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii.
